Mở đầu
Trong hình học tọa độ, việc xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một bài toán cơ bản và quan trọng. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính khoảng cách này, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức.
Nội dung chính
Công thức tính khoảng cách
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 và điểm M(x₀, y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính theo công thức:
d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)Cho hai điểm A(xₐ, yₐ) và B(xբ, yբ). Khoảng cách giữa hai điểm này được tính theo công thức:
AB = √((xբ - xₐ)² + (yբ - yₐ)²)Lưu ý: Nếu đường thẳng d chưa ở dạng tổng quát, ta cần biến đổi về dạng ax + by + c = 0 trước khi áp dụng công thức.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1, -1) đến đường thẳng d: 3x – 4y – 21 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
d(M, d) = |3(1) - 4(-1) - 21| / √(3² + (-4)²) = |-14| / √25 = 14/5Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến đường thẳng d: 4x + 3y – 24 = 0.
Giải:
d(O, d) = |4(0) + 3(0) - 24| / √(4² + 3²) = |-24| / √25 = 24/5 = 4.8Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm M(2, 0) đến đường thẳng d: (x – 1)/3 = (y – 2)/-4.
Giải:
Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng tổng quát:
-4(x – 1) = 3(y – 2) => -4x + 4 = 3y – 6 => 4x + 3y – 10 = 0
Áp dụng công thức:
d(M, d) = |4(2) + 3(0) - 10| / √(4² + 3²) = |-2| / 5 = 2/5Ví dụ 4: Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0, 0) và tiếp xúc với đường thẳng d: 8x + 6y + 100 = 0. Tìm bán kính R của đường tròn (C).
Giải:
Bán kính R của đường tròn (C) chính là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d:
R = d(O, d) = |8(0) + 6(0) + 100| / √(8² + 6²) = 100 / 10 = 10Kết luận
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học. Bài viết đã trình bày công thức tính khoảng cách cùng với các ví dụ minh họa chi tiết. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào việc giải bài tập một cách hiệu quả.
